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2022-10-02 01:39:34廣西戴氏教育

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(1)解:依題意得f(x)max≥m,x∈[0,e-1]∵f′(x)=2(1 x)-21 x=2x(x 2)x 1,而函數(shù)f(x)的定義域為(-1, ∞)∴f(x)在(-1,0)上為減函數(shù),在(0, ∞)上為增函數(shù),∴f(x)在[0,e-1]上為增函數(shù),∴f(x)max=f(e-1)=e2-2∴實數(shù)m的取值范圍為m≤e2-2

(2)解:g(x)=f(x)-x2-1=2x-2ln(1 x)=2[x-ln(1 x)],∴g′(x)=2(1-11 x)=2x1 x顯然,函數(shù)g(x)在(-1,0)上為減函數(shù),在(0, ∞)上為增函數(shù)∴函數(shù)g(x)的最小值為g

(0)=0∴要使方程g(x)=p至少有一個解,則p≥0,即p的最小值為0

(3)證明:由

(2)可知:g(x)=2[x-ln(1 x)]≥0在(-1, ∞)上恒成立所以ln(1 x)≤x,當且僅當x=0時等號成立令x=1n(n∈N ),則x∈(0,1)代入上面不等式得:ln(1 1n)

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