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如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)極限存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作
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需要指出的是:
兩者在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。
導(dǎo)函數(shù):
如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。高三一對一輔導(dǎo)哪家好,這時(shí)函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)確定的x值,都對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值。高三數(shù)學(xué)補(bǔ)課一對一還是小班
這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù),稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作y、f(x)、dydx或df(x)dx,簡稱導(dǎo)數(shù)。牛頓及萊布尼茨對此做出了貢獻(xiàn)。
幾何意義:
函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義:表示函數(shù)曲線在點(diǎn)P0(x0,f(x0))處的切線的斜率(導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率)。
當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí),函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在,a即為在x0處的導(dǎo)數(shù),記作f(x0)或df(x0)dx。
導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話,函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。例如在運(yùn)動學(xué)中,物體的位移對于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度。
不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù),一個(gè)函數(shù)也不一定在所有的點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù)。若某函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在,則稱其在這一點(diǎn)可導(dǎo),否則稱為不可導(dǎo)。然而,可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù);不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。
對于可導(dǎo)的函數(shù)f(x),x?f(x)也是一個(gè)函數(shù),稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))。尋找已知的函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)的過程稱為求導(dǎo)。實(shí)質(zhì)上,求導(dǎo)就是一個(gè)求極限的過程,導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則也來源于極限的四則運(yùn)算法則。高三數(shù)學(xué)一對一輔導(dǎo),高三寒假一對一
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