數(shù)學(xué)是一門富有創(chuàng)新內(nèi)涵的學(xué)科，如果你對它有興趣，南寧課外補(bǔ)習(xí)，秦學(xué)，即使沒人要你學(xué)，你也會用心鉆研。但要記住，切忌求快，囫圇吞棗。慢慢地認(rèn)真地看書，熟記公式，做好例題，輔導(dǎo)，進(jìn)行公式的推導(dǎo)，每一步都要非常清楚。以下是秦學(xué)教育小編為大家整理的南寧高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式-導(dǎo)數(shù)公式集錦，希望可以解決您所遇到的相關(guān)問題。

導(dǎo)數(shù)的定義：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0(下面就不再標(biāo)明Δx→0了)

用定義求導(dǎo)數(shù)公式

(1)f(x)=x^n

證法一：(n為自然數(shù))

f'(x)

=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx

=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx

=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]

=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)

=nx^(n-1)

證法二：(n為任意實(shí)數(shù))

f(x)=x^n

lnf(x)=nlnx

(lnf(x))'=(nlnx)'

f'(x)/f(x)=n/x

f'(x)=n/x*f(x)

f'(x)=n/x*x^n

f'(x)=nx^(n-1)

(2)f(x)=sinx

f'(x)

=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx

=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim cosxsinΔx/Δx

=cosx

(3)f(x)=cosx

f'(x)

=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx

=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx

=lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx

=lim -sinxsinΔx/Δx

=-sinx

(4)f(x)=a^x

證法一：

f'(x)

=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx

=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx

(設(shè)a^Δx-1=m，則Δx=loga^(m+1))

=lim a^x*m/loga^(m+1)

=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]

=lim a^x*lna*m/ln(m+1)

=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]

=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]

=lim a^x*lna/lne

=a^x*lna

證法二：

f(x)=a^x

lnf(x)=xlna

[lnf(x)] '=[xlna] '

f' (x)/f(x)=lna

f' (x)=f(x)lna

f' (x)=a^xlna

若a=e，原函數(shù)f(x)=e^x

則f'(x)=e^x*lne=e^x

(5)f(x)=loga^x

f'(x)

=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx

=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx

=lim loga^(1+Δx/x)/Δx

=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)

=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)

=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)

=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)

=lim lne/(x*lna)

=1/(x*lna)

若a=e，原函數(shù)f(x)=loge^x=lnx

則f'(x)=1/(x*lne)=1/x

(6)f(x)=tanx

f'(x)

=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx

=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx

=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))

=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

(7)f(x)=cotx

f'(x)

=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx

=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx

=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))

=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

(8)f(x)=secx

f'(x)

=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx

=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx

=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)

=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))

=sinx/(cosx)^2=tanx*secx

(9)f(x)=cscx

f'(x)

=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx

=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx

=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))

=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx

(10)f(x)=x^x

lnf(x)=xlnx

(lnf(x))'=(xlnx)'

f'(x)/f(x)=lnx+1

f'(x)=(lnx+1)*f(x)

f'(x)=(lnx+1)*x^x

(12)h(x)=f(x)g(x)

h'(x)

=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx

=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx

=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx

=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx

=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

(13)h(x)=f(x)/g(x)

h'(x)

=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx

=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))

=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))

=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))

=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))

=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))

=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x

(14)h(x)=f(g(x))

h'(x)

=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx

=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx

(另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu)

=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx

=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)

=lim f'(u)*Δu/Δx

=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx

=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)

(反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的乘積為1，因為函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于y=x對稱，所以導(dǎo)數(shù)也關(guān)于y=x對稱，所以導(dǎo)數(shù)的乘積為1)

(15)y=f(x)=arcsinx

則siny=x

(siny)'=cosy

所以

(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy

=1/√1-(siny)^2

(siny=x)

=1/√1-x^2

即f'(x)=1/√1-x^2

(16)y=f(x)=arctanx

則tany=x

(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2

所以

(arctanx)'=1/1+x^2

即f'(x)= 1/1+x^2

總結(jié)一下

(x^n)'=nx^(n-1)

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(a^x)'=a^xlna

(e^x)'=e^x

(loga^x)'=1/(xlna)

(lnx)'=1/x

(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2

(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2

(secx)'=tanx*secx

(cscx)'=-cotx*cscx

(x^x)'=(lnx+1)*x^x

(arcsinx)'=1/√1-x^2

(arctanx)'=1/1+x^2

[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))

[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)

后，希望秦學(xué)小編整理的南寧高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式-導(dǎo)數(shù)公式集錦對您有所幫助，祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步。